积图的支配数与全支配数

图 $G$ 的支配（全支配）$k$-染色是指将 $k$ 种颜色分配给 $G$ 的顶点，使得每个顶点在其闭邻域（邻域）中包含全部 $k$ 种颜色的顶点。$G$ 的支配（全支配）数记为 $d(G)$（$d_t(G)$），是 $G$ 具有支配（全支配）$k$-染色的最大 $k$。本文中，我们证明对于两个非平凡图 $G$ 和 $H$，其笛卡尔积 $G \cart H$ 的支配数与全支配数以上界 $\max\{|V(G)|, |V(H)|\}$ 为界，以下界 $\max\{d(G), d(H)\}$ 为界。这两个界对无穷族图均为紧的。进一步，我们证明若 $H$ 为二部图，则 $d_t(G \cart H)$ 以下界 $2\min\{d_t(G),d_t(H)\}$ 为界，$d(G \cart H)$ 以下界 $2\min\{d(G),d_t(H)\}$ 为界。这些界为超立方体支配数与全支配数的许多已知界 \cite{chen,zel4} 以及超立方体控制数与全控制数 \cite{har,joh} 提供了简易证明，并给出了汉明图的新界。我们还得到了在各自 $k_i$ 满足某些适当条件下的 $n$ 维环面 $\mathop{\cart}\limits_{i=1}^{n} C_{k_i}$ 的支配（全支配）数与控制（全控制）数，这推广了 Gravier \cite{grav2} 的一个结果，并给出了 Klavžar 与 Seifter \cite{sand} 一个结果的简易证明。