图的笛卡尔积着色与乘法Sidon集

设 $F$ 为一个由连通二部图组成的族,其中每个图至少含有三个顶点。图 $G$ 的一个正常顶点着色若不含 $F$ 中的双色子图,则称为 $\F$-自由的。$G$ 的 $F$-自由色数 $\chi(G,F)$ 是指 $G$ 的 $F$-自由着色所用颜色数的最小值。对于适当的 $F$ 选择,若干众所周知的着色类型可纳入此框架,包括无圈着色、星着色和距离-2着色。本文研究图的笛卡尔积的 $F$-自由着色。设 $H$ 为图 $G_1,G_2,...,G_d$ 的笛卡尔积。我们的主要结果用各 $G_i$ 的最大 $F$-自由色数与如下数论概念给出了 $H$ 的 $F$-自由色数的上界。自然数集 $S$ 称为 $k$-乘法Sidon集,如果当 $x,y\in S$ 且 $1\leq a,b\leq k$ 时,$ax=by$ 蕴含 $a=b$ 且 $x=y$。假设 $\chi(G_i,F)\leq k$ 且 $S$ 为基数为 $d$ 的 $k$-乘法Sidon集。我们证明 $\chi(H,F) \leq 1+2k\cdot\max S$。继而我们证明 $k$-乘法Sidon集的最大密度为 $\Theta(1/\log k)$。由此得到 $\chi(H,F) \leq O(dk\log k)$。我们以大量例子说明该方法,其中若干推广或改进了文献中的已有结果。