图积的聚类染色

图 $G$ 的一种染色具有聚类度 $k$，当且仅当单色连通分量中顶点的最大数目等于 $k$。受近期结果的启发，这些结果表明许多自然图类是有界树宽图与路径的强积的子图，本文研究了两个有界树宽图的强积的聚类染色，其中两个图均无界度、一个有界度或两个均有界度。例如，在两种颜色的情况下，若 $n$ 为乘积图中的顶点数，我们证明聚类度 $\Theta(n^{2/3})$ 是最优的，即使其中一个图是路径。然而，若两个图均有界度，则聚类度 $\Theta(n^{1/2})$ 是最优的。使用三种颜色时，若其中一个图有界度，则我们证明聚类度 $\Theta(n^{3/7})$ 是最优的。然而，若两个图均无界度，则聚类度 $\Omega(n^{1/2})$ 是必需的。对于任意给定颜色数，我们也给出了更一般的界。