多数图的直积为第一类图

图 $G$ 的 $k$-全染色是指将其元素（顶点与边）分配 $k$ 种颜色，使得相邻或关联的元素颜色不同。全色数是图 $G$ 具有 $k$-全染色的最小整数 $k$。显然，该数至少为 $\Delta(G)+1$，其中 $\Delta(G)$ 为 $G$ 的最大度。当达到下界时，称该图为第一类图。上界 $\Delta(G)+2$ 是一个五十年来悬而未决的核心问题，对最大度为 4 的图已得证，但对正则图尚未证明。多数已分类的图直积为第一类图。此前已知圈图直积 $C_m \times C_n$ 的特例，当 $m =3p, 5\ell$ 和 $8\ell$ 且 $p \geq 2$、$\ell \geq 1$，以及任意 $n \geq 3$ 时，为第一类图，并由此引出猜想：除 $C_4 \times C_4$ 外，所有 $m,n \geq 3$ 的圈图直积 $C_m \times C_n$ 均为第一类图。我们给出一个一般模式，证明所有 $C_m \times C_n$ 除 $C_4 \times C_4$ 外均为第一类图。此外，我们研究了确保直积达到全色数下界的充分条件。