关于图的公平容忍着色

一个（不一定是proper的）图G的顶点着色，其颜色类为$V_1, V_2, \dots, V_k$，若满足以下条件，则称为G的k种颜色的公平容忍顶点着色（Fair And Tolerant vertex coloring of G with k colors）：$V_1, V_2, \dots, V_k$为非空集，且存在两个实数$\alpha$和$\beta$，满足$\alpha \in [0,1]$且$\beta \in [0,1]$，且对每个任意顶点$v$和每一个任意颜色类$V_i$都满足以下条件：$$\bigl| V_i \cap N (v) \bigr| = \begin{cases} \alpha \deg (v) & \mbox{ if } \ \ v \notin V_i \ beta \deg (v) & \mbox{ if } \ \ v \in V_i . \end{cases}$$ 图G的公平容忍色数（FAT chromatic number），记为$\chi ^{{\rm FAT}} (G)$，定义为G能够进行公平容忍顶点着色的最大正整数k。公平容忍色数的概念由Beers和Mulas提出并研究，他们询问是否存在一个函数$f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$，使得不等式$\chi ^{{\rm FAT}} (G) \ \leq \ f \big( \chi (G) \big)$对所有图G都成立。另一个类似的有趣问题是是否存在某个函数$g \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$，使得不等式$\chi (G) \ \leq \ g \left( \chi ^{{\rm FAT}} (G) \right)$对每个图G都成立。在本文中，我们证明了这两个问题都否定了。