图的外部独立 $2$-彩虹支配函数的进一步结果

设 $G=(V(G),E(G))$ 为一图。函数 $f:V(G)\rightarrow \mathbb{P}(\{1,2\})$ 称为 $2$-彩虹支配函数，若对每个满足 $f(v)=\emptyset$ 的顶点 $v$，有 f\big{(}N(v)\big{)}=\{1,2\}。图 $G$ 的外部独立 $2$-彩虹支配函数（OI$2$RD 函数）是一个 $2$-彩虹支配函数 $f$，使得所有满足 $f(v)=\emptyset$ 的 $v\in V(G)$ 组成的集合独立。外部独立 $2$-彩虹支配数（OI$2$RD 数）$\gamma_{oir2}(G)$ 是 $G$ 的 OI$2$RD 函数的最小权值。本文首先证明 $n/2$ 是阶为 $n$ 的连通无爪图 OI$2$RD 数的下界，并刻画了所有取等号的此类图，解决了早前论文中提出的一个开放问题。此外，对若干图积的该参数进行了研究。特别地，我们给出了根积（resp. 冠积）图 OI$2$RD 数的闭式（resp. 精确）公式，并证明了两图笛卡尔积与直积上该参数的上界。