最小度至少为二且不含某些禁用圈的图的罗马控制

设$G=(V,E)$是一个阶为$n$的图，并设$\gamma _{R}(G)$和$\partial (G)$分别表示$G$的罗马控制数和微分。在本文中，我们证明对于任意整数$k\geq 0$，如果$G$是一个阶为$n\geq 6k+9$、最小度$\delta \geq 2$且不包含任何导出$\{C_{5},C_{8},\ldots ,C_{3k+2}\}$-圈的图，那么$\gamma _{R}(G)\leq \frac{(4k+8)n}{6k+11}$。当$k=0$时，此界改进了[E.W. Chambers, B. Kinnersley, N. Prince, and D.B. West, Extremal problems for Roman domination, SIAM J. Discrete Math. 23 (2009) 1575--1586]中给出的界；当$k=1$时，改进了[S. Bermudo, On the differential and Roman domination number of a graph with minimum degree two, Discrete Appl. Math. 232 (2017), 64--72]中给出的界。此外，利用Bermudo等人建立的涉及图的罗马控制数和微分的Gallai型结果，即$\gamma _{R}(G)+\partial (G)=n$，我们得到$\partial (G)\geq \frac{(2k+3)n}{6k+11}$，从而解决了Bermudo在第二篇论文中提出的猜想。