网格图的 2-支配数与罗马支配数

我们研究网格图的 2-支配数,即网格顶点的最小集合 $D$ 的大小,使得网格的每个顶点属于 $D$ 或在 $D$ 中至少有 2 个邻点。我们给出一个闭式公式给出任意 $n \!\times\! m$ 网格的 2-支配数,由此确认了 Lu 与 Xu 以及 Shaheen 等人对于 $n \leq 4$ 的结果,并略微修正了 Shaheen 等人对于 $n = 5$ 的值。证明依赖于一些动态规划算法,使用 (min,+) 代数中的转移矩阵。我们也将该方法应用于求解网格图上的罗马支配问题。