具有离群点控制的平均等周问题：精确与近似算法

给定带权图 $G=(V,E)$，其权函数分别为 $c:E\to \mathbb{R}_+$ 与 $\pi:V\to \mathbb{R}_+$，以及子集 $U\subseteq V$，$U$ 的归一化割值定义为离开 $U$ 的边的权值之和除以 $U$ 中顶点的权值。加权图 $G$ 的{\|it 平均等周问题} $\mathsf{ISO}^1(G,k)$ 是经典一致最稀疏割问题的推广：给定参数 $k$，目标是找到 $V$ 的 $k$ 个互不相交的非空子集，使各部分的平均归一化割值最小。该问题的鲁棒版本寻求一个优化解，其中落在该子划分之外的顶点数受某给定整数 $0 \leq \rho \leq |V|$ 限制。我们的主要结果表明，在子划分各部分均导出连通子图的条件下，$\mathsf{ISO}^1(G,k)$ 及其鲁棒版本 $\mathsf{CRISO}^1(G,k,\rho)$ 在任意加权树 $T$ 上均可在时间 $O(k^2 \rho^2\ \pi(V(T)^3)$ 内求解，其中 $\pi(V(T))$ 为顶点权值之和。该结果意味着当顶点权值为多项式有界时，$\mathsf{ISO}^1(G,k)$ 在加权树上可强多项式时间求解，而一般情形下该问题在加权树上是 NP-Hard 的。此外，利用此结果，我们证明上述两个问题 $\mathsf{ISO}^1(G,k)$ 与 $\mathsf{CRISO}^1(G,k,\rho)$ 以及普通鲁棒平均等周问题 $\mathsf{RISO}^1(G,k,\rho)$，在使用 R{\"a}cke-Shah 树割稀疏器时，对权值多项式有界的加权图均存在多项式时间 $O(\log^{1.5}|V| \log\log |V|)$-近似算法。