图上的广义度量修复

许多现代数据分析算法要么假设数据点之间的距离满足度量，要么在满足度量时效率显著提高。这些算法包括度量学习、聚类和降维。由于真实数据集存在噪声，距离往往不满足度量。为此，Gilbert和Jain以及Fan等人引入了密切相关的稀疏度量修复和度量违反距离问题。这些问题的目标是通过修复尽可能少的距离来确保它们满足度量。考虑了三种变体，其中一种存在多项式时间算法。其他变体被证明是APX难的，并给出了一个O(OPT^{1/3})近似，其中OPT为最优解的大小。在本文中，我们将这些问题推广到不再考虑数据点之间的所有距离。即，我们考虑一个带有损坏权重w的加权图G，目标是找到最少数量的权重修改，使得所得的加权图距离满足度量。这是一个自然的推广，且更为灵活，因为它考虑了数据点之间的不同关系。与先前工作一样，我们区分允许的修复类型，并专注于仅增加版本和一般版本。我们展示了该问题固有的组合结构，并给出了一个从MULTICUT的近似保持归约。反过来，我们证明对于任意固定常数ς，对于一大类ς-弦图，这些问题是固定参数可解的。称一个圈为破损的，如果它包含一条边，其权重大于该圈所有其他边的权重之和，并称此差值为其亏量。我们提出了近似算法，一种依赖于破损圈中的最大边数，另一种依赖于不同亏量值的数量。