符号图 1 类与 2 类图的边染色

近来，Behr 引入了符号图色指数的概念，并证明对每个符号图 $(G$, $\sigma)$ 均有 $$\Delta(G)\leq\chi'(G\text{, }\sigma)\leq\Delta(G)+1\text{,}$$ 其中 $\Delta(G)$ 为 $G$ 的最大度，$\chi'$ 表示其色指数。一般而言，$(G$, $\sigma)$ 的色指数同时依赖于底层图 $G$ 与符号 $\sigma$。本文研究使得 $\chi'(G$, $\sigma)$ 不依赖于 $\sigma$ 的图 $G$。为此，我们引入两类新图，即 $1^\pm$ 与 $2^\pm$：图 $G$ 属于 $1^\pm$ 类（相应地，$2^\pm$ 类）当且仅当对所有可能的符号 $\sigma$ 都有 $\chi'(G$, $\sigma)=\Delta(G)$（相应地，$\chi'(G$, $\sigma)=\Delta(G)+1$）。我们证明所有轮图、项链图、满足 $r\neq t$ 的完全二部图 $K_{r,t}$ 以及几乎所有仙人掌图都属于 $1^\pm$ 类。此外，我们给出了图为 $2^\pm$ 类的充分必要条件，即证明这类图必须具有奇最大度，并给出了最大度大于 $1$ 的任意奇数值的此类图示例。