走向在线 Ohba 猜想

图的在线选择数是通过双人博弈定义的选择数的一种变体。对于所有图，它至少与选择数一样大，并且对于某些图严格更大。特别地，存在满足 $|V(G)| = 2 \chi(G)+1$ 的图 $G$，其在线选择数大于其色数，这与最近被证实的 Ohba 猜想（即每个满足 $|V(G)| \le 2 \chi(G)+1$ 的图 $G$ 的选择数等于其色数）形成对比。尽管如此，文献 [P. Huang, T. Wong and X. Zhu, Application of polynomial method to on-line colouring of graphs, European J. Combin., 2011] 中提出了在线版本的 Ohba 猜想：每个满足 $|V(G)| \le 2 \chi(G)$ 的图 $G$ 的在线选择数等于其色数。本文证实了独立数至多为 3 的图 $G$ 的在线版本 Ohba 猜想。我们还研究了所有部分大小均为 3 的完全多部图 $K_{3\star k}$ 的列表着色。我们证明了 $K_{3 \star k}$ 的在线选择数至多为 $3/2k$，并给出了 Kierstead 关于其选择数为 $\lceil (4k-1)/3 \rceil$ 结果的另一种证明。对于一般图 $G$，我们证明了如果 $|V(G)| \le \chi(G)+\sqrt{\chi(G)}$，则其在线选择数等于色数。