$3$-选择临界图的多重列表染色

若图 $G$ 不是 $2$-可列表染色的，但其任意真子图是 $2$-可列表染色的，则称 $G$ 为 $3$-选择临界图。Voigt 在 [On list Colourings and Choosability of Graphs, Habilitationsschrift, Tu Ilmenau(1998)] 中给出了 $3$-选择临界图的刻画。Voigt 猜想，若 $G$ 是二部 $3$-选择临界图，则对每个整数 $m$，$G$ 是 $(4m, 2m)$-可选择的。该猜想被 Meng、Puleo 和 Zhu 在 [On (4, 2)-Choosable Graphs, Journal of Graph Theory 85(2):412-428(2017)] 中否定。他们表明，若 $G=\Theta_{r,s,t}$ 其中 $r,s,t$ 同奇偶且 $\min\{r,s,t\} \ge 3$，或 $G=\Theta_{2,2,2,2p}$ 且 $p \ge 2$，则 $G$ 是二部 $3$-选择临界图，但不是 $(4,2)$-可选择的。另一方面，所有其他二部 $3$-选择临界图都是 $(4,2)$-可选择的。本文强化了 Meng、Puleo 和 Zhu 的结果，表明所有其他二部 $3$-选择临界图对每个整数 $m$ 都是 $(4m,2m)$-可选择的。