临界性、列表色函数与图的笛卡尔积的列表染色

我们在色可选择性背景下引入色临界性概念。定义图 $G$ 为强 $k$-色可选择的（strong $k$-chromatic-choosable），若 $\chi(G) = k$ 且每个使 $G$ 不可列表染色的 $(k-1)$-分配具有所有顶点列表相同之性质。即通常的染色在某种意义上是列表染色的障碍。我们证明强色可选择图的基本性质，如色可选择性（chromatic-choosability）与顶点临界性，并构造了强色可选择图的无穷族。我们导出强色可选择图至少存在两种列表染色的充分条件，并用以证明：若 $M$ 为强 $k$-色可选择图且 $|E(M)| \leq |V(M)|(k-2)$，$H$ 为含一条 Hamilton 路径 $w_1, w_2, \ldots, w_m$ 的图，使得 $w_i$ 在 $w_1, \ldots, w_{i-1}$ 中至多含 $\rho \geq 1$ 个邻点，则 $\chi_{\ell}(M \square H) \le k+ \rho - 1$。我们通过将该定理推广至 $(M,\rho)$-笛卡尔容纳（Cartesian accommodating）的 $H$ 来证明此界对所有 $\rho \ge 1$ 均紧，该概念借助列表色函数 $P_{\ell}(G,k)$（色多项式的列表类比）定义。我们还利用列表色函数确定某些星状图的列表色数：$\chi_{\ell}(M \square K_{1,s}) =$ $k \; \text{if } s < P_{\ell}(M,k)$，或 $k+1 \; \text{if } s \geq P_{\ell}(M,k)$，其中 $M$ 为强 $k$-色可选择图。我们证明当 $M$ 为奇圈、完全图或奇圈与完全图的联图时，$P_{\ell}(M,k)$ 等于色多项式 $P(M,k)$。