关于稀疏亚三角图的 $(1^2,2^2)$- Packing 边染色

对于正整数 $\ell$ 和 $k$，图 $G$ 的 $(1^\ell, 2^k)$-Packing 边染色是将 $E(G)$ 分割为 $\ell$ 个匹配和 $k$ 个诱导匹配。若图中不存在度为 $d$ 的相邻顶点，则称其为 $d$-irregular。Yang 和 Wu 证明了每个 $3$-irregular亚三角图都 admits 一个 $(1,2^4)$-Packing 边染色，这回答了 Hocquad、Lajou 和 Lu\v zar 的一个开放问题。本文我们证明了每个 $3$-irregular亚三角多图都是 $(1^2,2^2)$-Packing 边可染色。我们的结果是尖锐的，因为存在 $3$-irregular亚三角图不是 $(1,2^3)$-Packing 边可染色和 $(1^2,2)$-Packing 边可染色。Hocquad、Lajou 和 Lu\v zar 推测每个亚三角平面图都是 $(1^2,2^3)$-Packing 边可染色。此外，他们发现一个 girth 为 $3$ 的亚三角平面图不是 $(1^2,2^2)$-Packing 边可染色。对于每个固定整数 $k \ge 3$，我们找到 girth 为 $k$ 的图不是 $(1^2,2)$-且不是 $(1,2^3)$-Packing 边可染色。自然地，考虑问题：“最小正整数 $g$ 是多少，使得每个 girth 至少为 $g$ 的亚三角平面图都是 $(1^2,2^2)$-Packing 边可染色？”我们证明 $g$ 是有限的，实际上 $g \le 20$。我们还提供一个示例表明 $g \ge 6$。