关于 Petersen 图的 $\mu$-参数

对于一个无向、简单、有限、连通图 $G$，我们分别用 $V(G)$ 和 $E(G)$ 表示其顶点集和边集。若函数 $\varphi:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$ 使得相邻边着色不同且使用了全部 $t$ 种颜色，则称其为图 $G$ 的正常边 $t$-着色。存在图 $G$ 的正常边 $t$-着色的最小 $t$ 值记为 $\chi'(G)$。对于任意图 $G$ 和满足不等式 $\chi'(G)\leq t\leq |E(G)|$ 的任意整数 $t$，我们用 $\alpha(G,t)$ 表示 $G$ 的所有正常边 $t$-着色的集合。同时定义图 $G$ 的所有正常边着色的集合 $\alpha(G)$ 为：$$\alpha(G)\equiv\bigcup_{t=\chi'(G)}^{|E(G)|}\alpha(G,t).$$ 任意非空的连续整数有限子集称为区间。若 $\varphi\in\alpha(G)$ 且 $x\in V(G)$，则与 $x$ 关联的 $G$ 的边的颜色集合记为 $S_G(x,\varphi)$，称为图 $G$ 在正常边着色 $\varphi$ 下顶点 $x$ 的谱。若 $G$ 是一个图且 $\varphi\in\alpha(G)$，则定义 $f_G(\varphi)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,\varphi) \textrm{是区间}\}|$。对于图 $G$ 和满足不等式 $\chi'(G)\leq t\leq |E(G)|$ 的任意整数 $t$，我们定义：$$\mu_1(G,t)\equiv\min_{\varphi\in\alpha(G,t)}f_G(\varphi),\qquad \mu_2(G,t)\equiv\max_{\varphi\in\alpha(G,t)}f_G(\varphi).$$ 对于任意图 $G$，我们设定：$$\mu_{11}(G)\equiv\min_{\chi'(G)\leq t\leq|E(G)|}\mu_1(G,t),\qquad \mu_{12}(G)\equiv\max_{\chi'(G)\leq t\leq|E(G)|}\mu_1(G,t),$$ $$\mu_{21}(G)\equiv\min_{\chi'(G)\leq t\leq|E(G)|}\mu_2(G,t),\qquad \mu_{22}(G)\equiv\max_{\chi'(G)\leq t\leq|E(G)|}\mu_2(G,t).$$ 本文求得了 Petersen 图的参数 $\mu_{11}$、$\mu_{12}$、$\mu_{21}$ 和 $\mu_{22}$ 的精确值。