关于不含4环的正则图的b-色数

图$G$的b-色数，记为$\phi(G)$，是使得$G$存在一个正常的$k$着色且每个颜色类都有一个顶点与所有其他颜色类中至少一个顶点相邻的最大整数$k$。我们证明，对于每个不含4环的$d$-正则图$G$，有$\phi(G)\geq\lfloor\frac{d+3}{2}\rfloor$；如果$G$包含三角形，则$\phi(G)\geq\lfloor\frac{d+4}{2}\rfloor$。此外，如果$G$是一个不含4环且直径$diam(G)\geq6$的$d$-正则图，则$\phi(G)=d+1$。最后，我们证明对于任何不含4环且$\kappa(G)\leq\frac{d+1}{2}$的$d$-正则图$G$，有$\phi(G)=d+1$。