小直径图的免冲突（顶点）连接数

在边（顶点）染色图中，若一条路径上恰有一种颜色仅出现在其一条边（一个顶点）上，则称该路径为免冲突路径。若对每个不同顶点对，都存在一条免冲突路径连接它们，则称该边（顶点）染色图为免冲突（顶点）连通的。对于连通图 $G$，其免冲突（顶点）连接数记为 $cfc(G)$（或 $vcfc(G)$），定义为使 $G$ 成为免冲突（顶点）连通所需的最少颜色数。本文首先给出任意直径为 $2,3$ 和 $4$ 的树 $T$ 的精确值 $cfc(T)$。基于此结果，确定了任意满足 $diam(G)\leq 4$ 的图 $G$ 的免冲突连接数，例外是那些直径为 $4$ 且 $h(G)=2$ 的图 $G$。对此例外情形，我们分别给出免冲突连接数为 $2$ 和 $3$ 的一些图。对于免冲突顶点连接数，确定了任意满足 $diam(G)\leq 4$ 的图 $G$ 的精确值 $vcfc(G)$。