随机图的免冲突连通数

若边染色图 $G$ 的任意两个顶点都由一条恰含一种仅出现一次的边的颜色的路径相连，则称 $G$ 是免冲突连通的。连通图 $G$ 的免冲突连通数记为 $cfc(G)$，是指使 $G$ 成为免冲突连通图所需的最少颜色数。本文证明几乎所有图的免冲突连通数均为 2。更确切地说，令 $G(n,p)$ 表示 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图模型，其中 $\binom{n}{2}$ 对顶点中的每一对以独立于其他各对的概率 $p$ 作为边出现。我们证明当 $n$ 充分大时，若 $p\ge\frac{\log n +\alpha(n)}{n}$（其中 $\alpha(n)\rightarrow \infty$），则 $cfc(G(n,p))\le 2$。这意味着一旦 $G(n,p)$ 以高概率连通，就有 $cfc(G(n,p))\le 2$。