线图的无冲突连通数

在边染色图中，若一条路径上至少有一种颜色恰好用于其一条边，则称该路径为无冲突的。若对图$G$的任意两个不同顶点，都存在一条无冲突路径连接它们，则称边染色图$G$是无冲突连通的。对连通图$G$，其无冲突连通数，记为$cfc(G)$，定义为使$G$无冲突连通所需的最小颜色数。本文研究连通无爪图特别是线图的无冲突连通数。我们首先证明对任意连通图$G$，存在正整数$k$使得$cfc(L^k(G))\leq 2$。其次，我们得到连通无爪图特别是连通线图的无冲突连通数的精确值。第三，我们证明对任意连通图$G$和任意正整数$k$，总有$cfc(L^{k+1}(G))\leq cfc(L^k(G))$，仅当$G$同构于阶至少$5$的星图且$k=1$时例外。最后，我们得到$cfc(L^k(G))$的精确值，并将其作为高效工具来求最小非负整数$k_0$使得$cfc(L^{k_0}(G))=2$。