局部种植嵌入与带子图带下限 Ramsey 数的研究

Lee 的一个关键结果断言，任何 $d$ -退化二分图 $H$ 的 Ramsey 数满足 $\log r(H) = \log n + O(d)$。特别是，这一界限适用于每个最大度为 $\Delta$ 的二分图。要识别保证 $n$ 顶点图 $H$ 的 Ramsey 数与 $n$ 成线性关系的条件，仍是一个引人入胜的挑战。我们的贡献是以图的带宽——一种局部连通性概念——对具有线性大小 Ramsey 数的二分图进行特征化。我们证明，对于任意 $n$ 顶点的最大度至多为 $\Delta$ 且带宽 $b(H)$ 最多为 $\exp(-C\Delta\log\Delta)\,n$ 的二分图 $H$，都有 $\log r(H) = \log n + O(1)$。这种特征化几乎是最优的：对于每个 $\Delta$，都存在一个 $n$ 顶点的最大度至多为 $\Delta$ 且 $b(H) \leq \exp(-c\Delta)\,n$ 的二分图 $H$，使得 $\log r(H) = \log n + \Omega(\Delta)$。我们还提供了在这两个带宽范式之间进行插值界限的界限。