二分图长分解的多色大小 Ramsey 数

对于正整数 r，r 色大小 Ramsey 数 $\widehat{R}_r(H)$ 是指在图 G 中，对其进行每 r 色染色后必包含 H 的单色子图所需的最小边数。对于图 H 和函数 $\sigma:E(H)\to \mathbb{N}$，分解 $\hat{H}^\sigma$ 是通过将 H 中每个 $e \in E(H)$ 替换为长度为 $\sigma(e)$ 的路径获得的。在 \cite{javadi25:_induced_long} 中证明了对于所有整数 $r, D \geq 2$，存在常数 $c=c(r, D)$，使得对于每个最大度为 $D$ 的图 H，如果 $H^\sigma$ 是 H 的分解且 $\sigma(e) > c \log n$ 对每个 $e \in E(H)$ 成立，其中 $n=|V(H^\sigma)|$，则 $\widehat{R}_r(H^\sigma) = O\big(2^{34r} r^6 \log^5(r) D^5\log D\big)n。我们在 H^\sigma 为二分图且颜色数 r 较大的情况下改进了该结果，采用显著不同的方法，得到界$ \widehat{R}_r(H^{\sigma}) \leq r^{400D \log D} \, n $。