关于平衡双星的多色拉姆齐数

$2n+2$ 个顶点上的平衡双星，记为 $S_{n,n}$，是通过连接两个各有 $n$ 个叶子的不相交星图的中心而得到的树。设 $R_r(G)$ 为最小的整数 $N$，使得在 $K_N$ 边的每一个 $r$-着色中都存在 $G$ 的单色副本；设 $R_r^{\mathrm{bip}}(G)$ 为最小的整数 $N$，使得在 $K_{N,N}$ 边的每一个 $r$-着色中都存在 $G$ 的单色副本。已知 $R_2(S_{n,n})=3n+2$ 且 $R_2^{\mathrm{bip}}(S_{n,n})=2n+1$ \cite{HJ}，但当 $r\geq 3$ 时，关于 $R_r(S_{n,n})$ 和 $R^{\mathrm{bip}}_r(S_{n,n})$ 知之甚少（除了由多数颜色类中边数的考虑得出的界外）。在本文中，我们对所有 $n\geq 1$ 证明了以下结论（其中下界改编自现有示例）：$$(r-1)2n+1\leq R_r(S_{n,n})\leq (r-\frac{1}{2})(2n+2)-1,$$以及 $$(2r-4)n+1\leq R^{\mathrm{bip}}_r(S_{n,n})\leq (2r-3+\frac{2}{r}+O(\frac{1}{r^2}))n.$$ 这些界类似于 $R_r(P_{2n+2})$ 和 $R_r^{\mathrm{bip}}(P_{2n+2})$ 的已知最佳界，其中 $P_{2n+2}$ 是 $2n+2$ 个顶点上的路径（也是一棵平衡树）。我们还给出了一个示例，改进了当 $r=3$ 和 $r=5$ 时 $R^{\mathrm{bip}}_r(S_{n,n})$ 的下界。