关于路径幂的尺寸拉姆齐数的一点注记

令 r ≥ 3 为整数且 r−2 为素数幂，令 H 为具有 n 个顶点、平均度至少为 d 且 α(H) ≤ βn 的连通图，其中 0 < β < 1 为常数。我们证明对所有足够大的 n，尺寸拉姆齐数 \hat{R}(H;r) > \frac{nd}{2}(r-2)^2 - C\sqrt{n}，其中 C 为仅依赖于 r 和 d 的常数。特别地，对于整数 k ≥ 1 和 r ≥ 3 且 r−2 为素数幂，存在仅依赖于 r 和 d 的常数 C，使得对所有足够大的 n 有 \hat{R}(P_n^k; r) > kn(r-2)^2 - C\sqrt{n} - \frac{(k^2+k)}{2}(r-2)^2，其中 P_n^k 为 P_n 的 k 次幂。我们还证明了对足够大的 n 有 \hat{R}(P_n,P_n,P_n) < 764.1n。该结果改进了 Dudek 和 Prałat 的一些结果（SIAM J. Discrete Math., 31 (2017), 2079–2092 及 Electron. J. Combin., 25 (2018), no.3, # P3.35）。