路径的离对角在线大小 Ramsey 数

考虑在 $K_{\mathbb N}$ 的边集上进行的如下 Ramsey 博弈。每一轮中，Builder 选取一条边，Painter 将其染红或染蓝。Builder 的目标是尽快迫使 Painter 造出一条 $k$ 个顶点的红路 $P_k$ 或一条蓝路 $P_n$。在线（大小）Ramsey 数 $\tilde{r}(P_k,P_n)$ 是当 Builder 与 Painter 均最优博弈时所需的轮数。我们证明当 $k=o(n)$ 且 $n\to \infty$ 时，$\tilde{r}(P_k,P_n)\le (5/3+o(1))n$。我们还证明对 $n\ge 10$ 有 $\tilde{r}(P_4,P_n)\le \lceil 7n/5\rceil -1$，这改进了 J.~Cyman、T.~Dzido、J.~Lapinskas 与 A.~Lo 所得的上界，并印证了他们关于 $\tilde{r}(P_4,P_n)=\lceil 7n/5\rceil -1$ 的猜想。