在线尺寸拉姆齐数：奇圈 vs 连通图

给定两个图族 $\mathcal H_1$ 和 $\mathcal H_2$，尺寸拉姆齐博弈在 $K_\mathbb{N}$ 的边集上进行。每一轮中，Builder 选择一条边，Painter 将其染成红色或蓝色。Builder 试图尽快迫使 Painter 创建出 $\mathcal H_1$ 中图的红副本或 $\mathcal H_2$ 中图的蓝副本。在线（尺寸）拉姆齐数 $\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)$ 是当 Builder 和 Painter 最优博弈时游戏的最小轮数。我们证明，若 $\mathcal H_1$ 为所有奇圈组成的图族，$\mathcal H_2$ 为所有具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的连通图组成的图族，则 $\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\ge \varphi n + m-2\varphi+1$，其中 $\varphi$ 为黄金比；且对于 $n\ge 3$、$m\le (n-1)^2/4$，有 $\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\le n+2m+O(\sqrt{m-n+1})$。我们还证明了对 $n\ge 3$ 有 $\tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$。由此可得对任意 $n\ge 3$ 有 $2.6n-3\le \tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$。