C4与P6的在线大小Ramsey数

在本文中，我们考虑一个由两名玩家Builder和Painter在无限团$K_\mathbb{N}$的边集上进行的游戏。在游戏的每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其染成红色或蓝色。当Painter创造出某个固定图$G$的红色拷贝或固定图$H$的蓝色拷贝时，Builder获胜。Builder希望尽可能少轮数内获胜，而Painter希望尽可能拖延Builder。在线大小Ramsey数$\tilde{r}(G,H)$是指假设双方均最优策略下Builder能够获胜的最少轮数。迄今为止，Dybizba\'nski、Dzido和Zakrzewska已证明$11\leq\tilde{r}(C_4,P_6)\leq13$\cite{Dzido}。在本文中，我们改进了这一结果并给出了精确值，即我们将提出定理$\tilde{r}(C_4,P_6)=11$，并给出证明细节。