路径与圈的在线 Ramsey 数

考虑由两名玩家 Builder 和 Painter 在无限完全图的边集上进行的游戏。在每一轮中，Builder 选择一条边，Painter 将其染成红色或蓝色。若 Builder 创建了固定图 $G$ 的红色副本或 $H$ 的蓝色副本，则 Builder 获胜。假设双方都完美博弈，Builder 能够获胜的最少轮数即为在线 Ramsey 数 $\tilde{r}(G,H)$。在本文中，我们考虑 $G$ 为路径 $P_k$ 的情形。我们证明了对于所有 $\ell \ge 5$，有 $\tilde{r}(P_3, P_{\ell+1}) = \lceil 5\ell/4 \rceil = \tilde{r}(P_3, C_\ell)$，并确定了对于所有 $\ell \ge 3$，$\tilde{r}(P_4, P_{\ell+1})$ 的值（精确到一个加法常数）。我们还证明了形式为 $\tilde{r}(P_{k+1},H)$ 的在线 Ramsey 数的一些一般下界。