臂 claw 对于循环的在线 Ramsey 数

在线 Ramsey 数 $\tilde r(G,H)$ 通过在具有可数个顶点的空图上进行的 Builder--Painter 比赛来定义。在每一轮中，Builder 暴露一条边，Painter 立即将其涂为红色或蓝色。当红色 $G$ 或蓝色 $H$ 的副本出现时，Builder 获胜，$\tilde r(G,H)$ 为 Builder 必须暴露的最小边数。对于长周期 $C_\ell$，在线 Ramsey 数 $\tilde r(G,C_\ell)$ 仅已知少数特定 $G$ 的情况。特别是，Cyman、Dzido、Lapinskas 和 Lo（Electron. J. Combin.，2015）确定了 $G=P_3$ 的精确值，而当 $G$ 为偶数周期时，Adamski、Bednarska-Bzd\c{e}ga 和 Bla\v{z}ej（SIAM J. Discrete Math.，2024）获得了渐近紧致结果。在本文中，我们考虑 $G$ 为臂 $K_{1,3}$ 的情况，确定 $\tilde r(K_{1,3},C_\ell)$ 的精确值。我们证明了对于所有 $\ell \ge 13$，都有 $\tilde r(K_{1,3},C_\ell)=\left\lfloor \frac{3(\ell+1)}{2} \right\rfloor$。