在线拉姆齐数：长圈与短圈

在线拉姆齐博弈由 Builder 和 Painter 在无限图板 $K_{\mathbb N}$ 上进行。每一轮 Builder 选择一条边，然后 Painter 将其染成红色或蓝色。双方均知晓目标图 $H_1$ 和 $H_2$。Builder 旨在尽快在 $K_{\mathbb N}$ 中创建出 $H_1$ 的红色拷贝或 $H_2$ 的蓝色拷贝，而 Painter 试图阻止此事。在线拉姆齐数 $\tilde{r}(H_1,H_2)$ 是 Builder 获胜所需的最少轮数。我们研究 $\tilde{r}(C_k,C_n)$，其中 $k$ 固定且 $n$ 很大。我们证明，若 $k$ 为偶数，则 $\tilde{r}(C_k,C_n)=2n+\mathcal O(k)$（对绝对常数 $c$ 成立）；若 $k$ 为奇数，则 $\tilde{r}(C_k,C_n)\le 3n+o(n)$。