强 Ramsey 游戏：无限棋盘上的平局

我们考虑强 Ramsey 型游戏 $\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$，该游戏在无限完全 $k$-一致超图 $K^k_{\mathbb{N}}$ 的边集上进行。两名玩家，称为 FP（先手）与 SP（后手），轮流声明 $K^k_{\mathbb{N}}$ 的边，目标是构建某个有限预定的 $k$-一致超图 $\mathcal{H}$ 的拷贝。先构建出 $\mathcal{H}$ 拷贝的玩家获胜。若无玩家拥有策略在有限步内确保获胜，则游戏被宣布为平局。本文构造了一个 $5$-一致超图 $\mathcal{H}$，使得 $\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$ 为平局。这与相应的有限游戏 $\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, n)$（在 $K^5_n$ 边集上进行）形成鲜明对比。事实上，利用称为“策略偷取”（strategy stealing）的经典博弈论论证与 Ramsey 型论证，可证明对每个 $k$-一致超图 $\mathcal{G}$，存在整数 $n_0$，使得对所有 $n \geq n_0$，FP 在 $\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{G}, n)$ 中具有获胜策略。