两板上的强 Ramsey 游戏

强 Ramsey 游戏 $R(\mathcal{B}, H)$ 是在图 $\mathcal{B}$ 上进行的两人游戏，称为棋盘，目标图为 $H$。在这款游戏中，两位玩家 $P_1$ 和 $P_2$ 轮流声明棋盘上未被声明的边， $P_1$ 先手。目标是声明与 $H$ 同构的子图，第一个实现这一目标的玩家获胜。一个持续了三十多年的基本开放问题询问是否存在图 $H$，使得在游戏 $R(K_n, H)$ 中， $P_1$ 在 $n \to \infty$ 时的有限步数内没有必胜策略。本文将重点转向由 David、Hartarsky 和 Tiba 引入的变体 $R(K_n \sqcup K_n, H)$，其中棋盘 $K_n \sqcup K_n$ 由两个不相交的 $K_n$ 组成。我们证明存在无限多个图 $H$，使得在 $R(K_n \sqcup K_n, H)$ 中， $P_1$ 在有限步数内无法获胜，通过简洁的证明。这或许为上述长期悬而未决的问题提供了示例。