关于路、圈和树的诱导在线 Ramsey 数

在线 Ramsey 游戏是 Builder 和 Painter 之间交替进行的游戏。给定图 $H$ 和一个具有无限独立顶点集的图 $G$。每轮 Builder 画一条边，Painter 将其染成红色或蓝色。若经过有限轮后存在 $H$ 的单色拷贝，则 Builder 获胜，否则 Painter 获胜。在线 Ramsey 数 $\widetilde{r}(H)$ 是 Builder 能在 $G$ 中迫使出现 $H$ 的单色拷贝的最小轮数。这类似于尺寸 Ramsey 数 $\overline{r}(H)$，其定义为存在具有 $\overline{r}(H)$ 条边的图 $G$ 使得对 $G$ 的任意边二染色均包含 $H$ 的单色拷贝的最小边数。本文中，我们引入诱导在线 Ramsey 数的概念：诱导在线 Ramsey 数 $\widetilde{r}_{ind}(H)$ 是 Builder 能在 $G$ 中迫使出现 $H$ 的诱导单色拷贝的最小轮数。我们证明了路、圈和两族树的诱导在线 Ramsey 数的渐近紧界。此外，我们给出了一个类似于 Conlon [On-line Ramsey Numbers, SIAM J. Discr. Math. 2009] 的结果，表明存在无穷树族 $T_1,T_2,\dots$，对 $i\ge1$ 有 $|T_i|<|T_{i+1}|$，使得 $$\lim_{i\to\infty} \frac{\widetilde{r}(T_i)}{\overline{r}(T_i)} = 0.$$