所有矩形均具有典范 Ramsey 性质

在一项开创性工作中，Cheng 和 Xu 证明了对于任意正整数 $r$，存在一个与 $r$ 无关的整数 $n_0$，使得对 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{E}^n$（其中 $n \ge n_0$）的任意 $r$-染色都包含一个单色或彩虹色的正方形全等副本。这种维度无关的现象后来被 Gehe\'{e}r、Sagdeev 和 T\'{o}th 形式化为典范 Ramsey 性质，他们将结果推广到了所有超立方体，以及边长 $a$、$b$ 满足 $(\frac{a}{b})^2$ 为有理数的矩形。他们进一步提出了一个自然问题：是否所有矩形无论长宽比如何都具有典范 Ramsey 性质。在本文中，我们证明了所有矩形均具有典范 Ramsey 性质，从而彻底解决了 Gehe\'{e}r、Sagdeev 和 T\'{o}th 提出的这一开放问题。我们的证明引入了一种新的结构归约，该归约识别出具有有界颜色复杂度的乘积构型，从而能够应用单纯形 Ramsey 定理和乘积 Ramsey 放大来控制任意长宽比。