Leech 格中低于 25 维的 Borsuk 猜想反例？

1933 年，Karol Borsuk 问道：在 $n$ 维欧几里得空间中的每个有界集是否都能被划分为 $n$+1 个直径更小的部分。由于否则问题无意义，人们通常假定他只是忘记要求整个集合至少包含两个点。对该问题答案为肯定的假设以 \emph{Borsuk 猜想}之名广为人知。自 2013 年起，对任意 $n\ge 64$ 均已知道反例。令 $\Lambda$ 为（原始的、未缩放的）Leech 格，即 24 维欧几里得空间中如今非常著名的无限离散向量集。$\Lambda$ 中非零向量的最小范数为 $\sqrt{32}$。令 $M$ 为 $\Lambda$ 中具有该范数的 196560 个向量组成的集合。对每个 $x \in M$，$-x$ 均在 $M$ 中。令 $H$ 为 $M$ 的所有满足如下条件的子集组成的集族：对 $M$ 中每个 $x$，该子集含有 $x$ 或 $-x$ 之一。$H$ 的每个元素的直径均为 $d = \sqrt{96}$。对 $n<24$ 的维数，可由 $\Lambda$ 的层叠 $n$ 维子格 $\Lambda_n$ 类似地构造相应的 $M_n$ 与 $H_n$。为统一记法，令 $\Lambda_{24}=\Lambda$、$M_{24} = M$ 且 $H_{24} = H$。若 $M_n$ 可被划分为至多 $n+1$ 个直径小于 $d$ 的部分，则这对 $H_n$ 的所有元素同样成立。我已验证对所有 $n \le 21$ 情形如此。对 $n$ 从 22 到 24，我所能将 $M_n$ 划分成的直径小于 $d$ 的最少部分数分别为 25、29 和 34。本文的源数据包中含有一个 $H_{24}=H$ 中元素的编码数据文件，我无法将其划分为少于 29 个直径更小的部分。