截断布尔格中割集的最小宽度

对于整数 $0 \leq m \leq l \leq n-m$，截断布尔格 ${\cal B}_n(m,l)$ 是所有 $[n] = \{1, 2, \ldots, n\}$ 中大小至少为 $m$ 且至多为 $l$ 的子集构成的偏序集。${\cal C} \subseteq {\cal B}_n(m,l)$ 若与 ${\cal B}_n(m,l)$ 中每条长度为 $l-m$ 的链相交，则称为割集，而 ${\cal C}$ 的宽度是 ${\cal C}$ 中最大反链的大小。我们猜想对于 $n >> m$，截断布尔格中割集的最小宽度 $h_n(m,l)$ 为 $\Sigma_{j \geq 0} \Delta_n(m-jc) = \Delta_n(m)+\Delta_n(m-c)+\Delta_n(m-2c)+ \dots$，其中 $c=l-m+1$ 是 ${\cal B}_n(m,l)$ 中水平集的数量，$\Delta_n(k)={n \choose k}- {n \choose k-1}$。我们证明了“短格”情形（$l=m$、$l=m+1$ 和 $l=m+2$）下的猜想。对于“高格”（$l \geq 2m$），我们的猜想给出 ${n \choose m} - {n \choose m-1}$，且与 $l$ 无关。我们的主要结果是：若 $l \geq 2m$，则 $h_n(m,l) \leq {n \choose m} - {n \choose m-1}$。