布尔格的秩对称链分解

布尔格 $2^{[n]}$ 是 $[n]$ 的幂集按包含关系排序。链 $c_{0}\subset...\subset c_{k}$ 在 $2^{[n]}$ 中是秩对称的，如果 $|c_{i}|+|c_{k-i}|=n$ 对于 $i=0,...,k$；它是对称的，如果 $|c_{i}|=(n-k)/2+i$。我们证明存在双射 $$p: [n]^{(\geq n/2)}\rightarrow [n]^{(\leq n/2)}$$ 以及 $[n]^{(\geq n/2)}$ 上的偏序 $<$ 满足以下性质：(i) $\subset$ 是 $[n]^{(\geq n/2)}$ 上 $<$ 的扩展；(ii) 如果 $C\subset [n]^{(\geq n/2)}$ 是关于 $<$ 的一条链，则 $p(C)\cup C$ 是 $2^{[n]}$ 中的一条秩对称链，其中 $p(C)=\{p(x): x\in C\}$；(iii) 偏序集 $([n]^{(\geq n/2)},<)$ 有所谓的归一化匹配性质。我们展示这一结果的两个应用。Füredi 的一个猜想询问 $2^{[n]}$ 是否能划分为 $\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$ 条链，使得任意两条链的大小相差至多为 1。我们证明了该猜想的一个渐近版本，并附加每个划分中的链都是秩对称的条件：$2^{[n]}$ 可划分为 $\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$ 条秩对称链，每条大小为 $\Theta(\sqrt{n})$。