合成集$N(m,n)$的对称链分解

如果一个偏序集可以表示为对称链的不交并，则称该偏序集具有对称链分解。对于正整数$m$和$n$，令$N(m,n)$表示所有合成$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$的集合，其中对每个$i=1,\cdots,m$有$0\le \alpha_i \le n$。定义序$<$如下：$\forall \alpha,\beta \in N(m,n)$，$\beta < \alpha$当且仅当$\beta_i \le \alpha_i(i=1,\cdots,m)$且$\sum\limits_{i=1}^{m}\beta_i <\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i$。在本文中，我们通过构造性方法证明偏序集$(N(m,n),<)$可以表示为对称链的不交并。