Dynkin 型 $\mathbb{A}_n$ 非负偏序集的结构

偏序集 $I=(\{1,\ldots, n\}, \leq_I)$ 称为非负的，如果对称 Gram 矩阵 $G_I:=\frac{1}{2}(C_I + C_I^{tr})\in\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ 是半正定的，其中 $C_I\in\mathbb{M}_n(\mathbb{Z})$ 是编码关系 $\leq_I$ 的 $(0,1)$-矩阵。每一个这样的连通偏序集 $I$，在 $G_I$ 矩阵的 $\mathbb{Z}$-合同意义下，由唯一的单枝 Dynkin 图 $\mathrm{Dyn}_I\in\{\mathbb{A}_m, \mathbb{D}_m,\mathbb{E}_6,\mathbb{E}_7,\mathbb{E}_8\}$ 确定。我们证明 $\mathrm{Dyn}_I=\mathbb{A}_n$ 蕴含矩阵 $G_I$ 的秩为 $n$ 或 $n-1$。此外，我们描绘了所有此类偏序集 $I$ 的 Hasse 有向图 $\mathcal{H}(I)$ 的显式形状，并给出了其数量的公式。