按极小元个数及其他统计量枚举 (2+2)-自由偏序集

若一个无标号偏序集不包含同构于 2+2（即两个不相交的双元素链的并）的诱导子偏序集，则称其为 (2+2)-自由。令 $p_n$ 表示大小为 $n$ 的 (2+2)-自由偏序集的个数。在最近的一篇论文中，Bousquet-M\'elou 等人\cite{BCDK}利用所谓的上升序列（ascent sequences），求出了大小为 $n$ 的 (2+2)-自由偏序集个数的生成函数：$P(t)=\sum_{n \geq 0} p_n t^n = \sum_{n\geq 0} \prod_{i=1}^{n} (1-(1-t)^i)$。我们从两个方面扩展了这一结果。首先，我们求出了在考虑四个统计量（其中之一为偏序集中的极小元个数）时的 (2+2)-自由偏序集的生成函数。其次，我们证明若 $p_{n,k}$ 等于具有 $k$ 个极小元的大小为 $n$ 的 (2+2)-自由偏序集的个数，则 $P(t,z)=\sum_{n,k \geq 0} p_{n,k} t^n z^k = 1+ \sum_{n \geq 0} \frac{zt}{(1-zt)^{n+1}} \prod_{i=1}^n (1-(1-t)^i)$。第二个结果不能通过代入从第一个结果推导出来。另一方面，$P(t)$ 可以很容易地从 $P(t,z)$ 获得，从而为\cite{BCDK}中的枚举结果提供了另一种证明。此外，我们猜想 $P(t,z)$ 的一种更简洁的书写形式。通过\cite{BCDK,cdk}中的双射，我们的枚举结果被推广到某些受限排列和正则线性化弦图。最后，我们定义了一个由 Catalan 数计数的上升序列子集，并讨论了其与 (2+2)-自由和 (3+1)-自由偏序集的关系。