偏序集拉姆齐数 $R(P,Q_n)$. III. 链的合成与反链

偏序集 $(P_1,\le_1)$ 的诱导子偏序集 $(P_2,\le_2)$ 是 $P_1$ 的一个子集，使得对任意 $X,Y\in P_2$，有 $X\le_2 Y$ 当且仅当 $X\le_1 Y$。维数为 $n$ 的布尔格 $Q_n$ 是由 $\{1,\dots,n\}$ 的所有子集按包含关系排序构成的偏序集。给定两个偏序集 $P_1$ 和 $P_2$，偏序集拉姆齐数 $R(P_1,P_2)$ 是最小整数 $N$，使得在对 $Q_N$ 的元素进行任意蓝/红着色时，要么存在同构于 $P_1$ 的单色蓝诱导子偏序集，要么存在同构于 $P_2$ 的单色红诱导子偏序集。我们对两类 $P$ 给出了 $R(P,Q_n)$ 的上界：$P$ 为链的平行合成（即由两两元素间不可比较的互不相交链组成的偏序集），以及细分 $Q_2$（由两条平行链通过添加一个公共极小元和一个公共极大元得到的偏序集）。这完成了对至多 $4$ 个元素的偏序集 $P$ 的 $R(P,Q_n)$ 的确定。若 $P$ 是含 $t$ 个元素的反链 $A_t$，我们证明对 $3\le t\le \log \log n$ 有 $R(A_t,Q_n)=n+3$。此外，我们简要综述了偏序集拉姆齐情形 $P$ 对 $Q_n$ 中的证明技术。