偏序集 Ramsey 数 $R(P,Q_n)$ II. N 形偏序集

给定偏序集(posets) $(P, \leq_P)$ 与 $(P', \leq_{P'})$，若对某个单射函数 $f\colon P\rightarrow P'$ 及任意 $A, B\in P$，有 $A\leq _P B$ 当且仅当 $f(A)\leq_{P'} f(B)$，则称 $P'$ 含有一个 $P$ 的拷贝。对任意偏序集 $P$ 与 $Q$，偏序集 Ramsey 数 $R(P,Q)$ 是最小正整数 $N$，使得无论将一个 $N$ 维布尔格的元素如何染成蓝、红两色，总存在一个全蓝元素的 $P$ 拷贝或全红元素的 $Q$ 拷贝。我们关注固定偏序集 $P$ 与 $n$ 维布尔格 $Q_n$ 的偏序集 Ramsey 数 $R(P, Q_n)$，当 $n$ 充分大时。已知对正常数 $c_1$ 与 $c_2$ 有 $n+c_1(P) \leq R(P,Q_n) \leq c_2(P) n$。然而，尚不知有偏序集 $P$ 使得对 $\epsilon >0$ 有 $R(P, Q_n)> (1+\epsilon)n$。本文致力于一种利用 $Q_n$ 拷贝与覆盖它们的元素集（称为 blockers）之间对偶性来求 $R(P, Q_n)$ 上界的新方法。我们证明了 blockers 的若干性质及其与 Ramsey 数的直接关系。利用这些性质，我们证明了对具有四个元素 $A, B, C,$ 和 $D$（满足 $A<C$，$B<D$，$B<C$，其余元素对不可比）的偏序集 $\mathcal{N}$，有 $R(\mathcal{N},Q_n)=n+\Theta(n/\log n)$。