对角偏序集拉姆齐数

如果存在一个单射映射 $\phi\colon P\to Q$，使得对于任意两个元素 $X,Y\in P$，当且仅当 $\phi(X)\le_Q \phi(Y)$ 时 $X\le_P Y$ 成立，则称偏序集 $(Q,\le_Q)$ 包含偏序集 $(P,\le_P)$ 的一个诱导拷贝。我们用 $Q_n$ 表示布尔格 $(2^{[n]},\subseteq)$。偏序集 $P$ 和 $Q$ 的偏序集拉姆齐数 $R(P,Q)$ 是最小的整数 $N$，使得 $Q_N$ 元素的任何蓝红着色都包含一个蓝色的 $P$ 诱导拷贝或一个红色的 $Q$ 诱导拷贝。在本文中，我们证明了当 $n\ge m$ 且 $m$ 足够大时，$R(Q_m,Q_n)\le nm-\big(1-o(1)\big)n\log m$。这将 $R(Q_n,Q_n)$ 的最佳已知上界从 $n^2-n+2$ 改进为 $n^2-\big(1-o(1)\big) n\log n$。此外，我们在相差一个加法常数 2 的范围内确定了 $P$ 为 $n$-叉或 $n$-钻石时的 $R(P,P)$。如果存在一个单射 $\psi\colon P\to Q$，使得对于任意 $X,Y\in P$ 且 $X\le_P Y$，都有 $\psi(X)\le_Q \psi(Y)$，则称偏序集 $(Q,\le_Q)$ 包含 $(P,\le_P)$ 的一个弱拷贝。弱偏序集拉姆齐数 $R^{\text{w}}(P,Q)$ 是最小的 $N$，使得 $Q_N$ 的任何蓝/红着色都包含一个蓝色的 $P$ 弱拷贝或一个红色的 $Q$ 弱拷贝。我们证明了 $R^{\text{w}}(Q_n,Q_n)\le 0.96n^2$。