偏序集拉姆齐数 $R(P,Q_n)$。I. 完全多部偏序集

偏序集 $(P',\le_{P'})$ 包含另一偏序集 $(P,\le_P)$ 的副本，当且仅当存在单射 $f\colon P'\to P$，使得对任意 $X,Y\in P$，$X\le_P Y$ 当且仅当 $f(X)\le_{P'} f(Y)$。对任意偏序集 $P$ 与 $Q$，偏序集拉姆齐数 $R(P,Q)$ 是最小整数 $N$，使得维数为 $N$ 的布尔格的任意蓝/红着色均包含全蓝的 $P$ 副本或全红的 $Q$ 副本。我们以 $K_{t_1,\dots,t_\ell}$ 记完全 $\ell$-部偏序集，即由 $\ell$ 个两两不交集合 $A^i$（大小为 $t_i$，$1\le i\le \ell$）构成的偏序集，使得对任意 $i,j\in\{1,\dots,\ell\}$ 及任意 $X\in A^{i}$、$Y\in A^{j}$，$X<Y$ 当且仅当 $i<j$。本文中我们证明 $R(K_{t_1,\dots,t_\ell},Q_n)\le n+\frac{(2+o_n(1))\ell n}{\log n}$。