偏序集的 Erdős-Hajnal 问题

我们说偏序集 $(Q,\le_{Q})$ 包含偏序集 $(P,\le_P)$ 的诱导拷贝，如果存在单射函数 $\phi\colon P\to Q$ 使得对每一对 $X,Y\in P$，\;$X\le_P Y$ 当且仅当 $\phi(X)\le_Q \phi(Y)$。我们将布尔格 $(2^{[n]},\subseteq)$ 记为 $Q_n$。给定偏序集 $P$ 的一个固定 $2$-染色 $c$，该染色偏序集的偏序集 Erdős-Hajnal 数是最小整数 $N$，使得 $Q_N$ 的每一个 $2$-染色都包含如 $c$ 中染色的 $P$ 的诱导拷贝，或 $Q_n$ 的单色诱导拷贝。我们给出一般染色偏序集、反链、链以及小布尔格的偏序集 Erdős-Hajnal 数的界。令偏序集 Ramsey 数 $R(Q_n,Q_n)$ 为最小的 $N$，使得 $Q_N$ 的每一个 $2$-染色都包含 $Q_n$ 的单色诱导拷贝。作为推论，我们证明 $R(Q_n,Q_n)> 2.02n$，改进了 Cox 与 Stolee \cite{CS} 的最佳已知下界 $2n+1$。