布尔格中 V 形偏序集的拉姆齐性质

给定偏序集 $\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k$，令{\em 布尔拉姆齐数} $R(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k)$ 为最小整数 $n$，使得无论我们如何用 $k$ 种颜色对布尔格 $\mathbf{B}_n$ 中的元素着色，总存在某个 $\mathbf{P}_i$ 包含于 $\mathbf{B}_n$ 中且其元素全被染为第 $i$ 种颜色。该函数首先由 Axenovich 和 Walzer~\cite{AW} 引入。近来，许多关于确定 $R(\mathbf{B}_m,\mathbf{B}_n)$ 的结果已发表。本文中，我们将研究当每个 $\mathbf{P}_i$ 均为 $V$ 形偏序集时的函数 $R(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k)$。即，通过识别两条链的最小元素而得到的偏序集。本文给出的另一个主要结果是：当 $R(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k)=n$ 被确定时，确定包含于 $\mathbf{B}_n$ 中具有上段所述拉姆齐性质的最小偏序集 $\mathbf{Q}$。此外，我们定义{\em 布尔彩虹拉姆齐数} $RR(\mathbf{P},\mathbf{Q})$ 为最小整数 $n$，使得在对 $\mathbf{B}_n$ 中元素任意着色时，总存在 $\mathbf{B}_n$ 中的单色 $\mathbf{P}$ 或彩虹 $\mathbf{Q}$。Chang、Li、Gerbner、Methuku、Nagy、Patkos 和 Vizer 给出了对于一般偏序集 $\mathbf{P}$ 和 $k$ 元反链 $\mathbf{A}_k$ 的 $RR(\mathbf{P},\mathbf{A}_k)$ 的上界。本文中也研究了当 $\mathbf{P}$ 为 $V$ 形偏序集时的该函数。