布尔格上的偏序集拉姆齐数

偏序集 $Q$ 的子偏序集 $Q'$ 称为偏序集 $P$ 的一个拷贝，如果存在 $P$ 的元素与 $Q'$ 之间的一个双射 $f$，使得在 $P$ 中 $x \le y$ 当且仅当在 $Q'$ 中 $f(x) \le f(y)$。对于偏序集 $P, P'$，定义偏序集拉姆齐数 $R(P,P')$ 为最小的 $N$，使得无论怎样将布尔格 $Q_N$ 的元素染成红色和蓝色，总存在一个全红元素的 $P$ 的拷贝或一个全蓝元素的 $P'$ 的拷贝。Axenovich 和 Walzer 在《Order》(2017) 中引入了此概念，并证明了 $R(Q_2, Q_n) \le 2n + 2$ 以及 $R(Q_n, Q_m) \le mn + n + m$，其中 $Q_n$ 为 $n$ 维布尔格。他们后来证明了 $2n \le R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 2n$。Walzer 后来证明了 $R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 1$。我们对各种 $n,m \in \mathbb{N}$ 给出了 $R(Q_n, Q_m)$ 的一些改进上界。特别地，我们证明了 $R(Q_n, Q_n) \le n^2 - n + 2$、$R(Q_2, Q_n) \le \frac{5}{3}n + 2$ 以及 $R(Q_3, Q_n) \le \frac{37}{16}n + \frac{39}{16}$。我们还证明了 $R(Q_2,Q_3) = 5$，以及对所有 $n \ge m \ge 4$ 有 $R(Q_m, Q_n) \le (m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)})n + m + 3$。