偏序集的拉姆齐数

在本论文中，我们展示了配备偏序关系的有限集（即所谓的偏序集）背景下的定量拉姆齐型结果。偏序集的一个突出例子是布尔格 $Q_n$，它由 $\{1,\dots,n\}$ 的所有子集按包含关系排序构成。对于偏序集 $P$ 和 $Q$，偏序集拉姆齐数 $R(P,Q)$ 是最小的 $N$，使得无论怎样将 $Q_N$ 的元素染成蓝色和红色，总存在一个同构于 $P$ 的诱导子偏序集，其每个元素都被染成蓝色，或者存在一个同构于 $Q$ 的诱导子偏序集，其每个元素都被染成红色。本论文的中心焦点是研究 $R(P,Q_n)$，其中 $P$ 固定而 $n$ 增长很大。我们的结果为一个活跃的离散数学领域做出了贡献，该领域研究在具有局部约束的主结构中存在大型同质子结构的问题，最初由 Erdős 和 Hajnal 为图引入。我们为来自若干偏序集类别的 $P$ 提供了 $R(P,Q_n)$ 的渐近紧确界，并展示了 $R(P,Q_n)$ 渐近行为的二分性，这取决于 $P$ 是否包含一个同构于两个特定偏序集之一的子偏序集。偏序集拉姆齐数研究中的一个基本问题是确定 $R(Q_n,Q_n)$ 在大 $n$ 时的渐近行为。在本博士论文中，我们提出了对 $R(Q_n,Q_n)$ 已知下界和上界的改进。此外，我们探索了偏序集拉姆齐设定的变体，包括当小禁用偏序集具有非单色颜色模式时的 Erdős-Hajnal 型问题，以及关注非诱导子偏序集的所谓弱偏序集拉姆齐数。