任意空间维数下拟线性薛定谔方程的时空估计与散射理论

在本文中，我们考虑如下柯西问题 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} iu_t=\Delta u+2\delta_huh'(|u|^2)\Delta h(|u|^2)+V(x)u+F(|u|^2)u+(W*|u|^2)u,\ x\in \mathbb{R}^N,\ t>0\\ u(x,0)=u_0(x),\quad x\in \mathbb{R}^N. \end{array}\right. \end{equation*} 这里 $\delta_h$ 为常数，$N\geq 1$，$h(s)$、$F(s)$、$V(x)$ 和 $W(x)$ 为某些实函数，$W(x)$ 为偶函数。除获得解整体存在的一些充分条件外，我们建立了伪共形守恒律，并给出了整体解的 Morawetz 型估计、时空界与渐近行为。我们引入两种思想来建立散射理论，其一是针对 Duhamel 公式右侧不同项在 Strichartz 估计中取不同的可容许对，以保持各项独立；其二是人为令一连续函数为两个分段函数之和，并对含这些函数的项在 Strichartz 估计中取不同的可容许对。基于这两种思想，我们在一定假设下给出了任意空间维数（$N\geq 1$）下 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 与 $\Sigma$ 中经典散射理论的直接且简单的证明。此处 $$\Sigma=\{u\in H^1(\mathbb{R}^N),\quad |xu|\in L^2(\mathbb{R}^N)\}.$$