临界状态下具有吸引与排斥混合作用的三次薛定谔系统的解

我们研究三次薛定谔系统 $$-\Delta u_i = \sum_{j =1}^m \beta_{ij} u_j^2u_i + \lambda_i u_i\ \hbox{in}\ \Omega,\ u_i=0\ \hbox{on}\ \partial\Omega,\ i =1,\dots,m,$$ 的解的存在性，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^4$ 中的有界域，$\lambda_i$ 为正小数，$\beta_{ij}$ 为实数且满足 $\beta_{ii}>0$ 以及 $\beta_{ij}=\beta_{ji}$（$i\neq j$）。我们将分量 $u_i$ 分组，使得同一组内所有分量间的相互作用力 $\beta_{ij}$ 均为吸引的，即 $\beta_{ij}>0$，而不同组间的力为排斥或弱吸引的，即对某些较小的 $\overline\beta$ 有 $\beta_{ij}<\overline\beta$。我们找到了这样的解：给定组内各分量围绕同一点爆破，而不同组围绕不同点爆破，当所有参数 $\lambda_i$ 趋于零时。